Кино, литература, театр Енгибаров был талантлив во всем. Те, кто не видел его на манеже, ни за что не сказали бы, что это клоун. Это был очень серьезный, малоразговорчивый человек, больше похожий на инженера или математика. Но на манеже он полностью преображался, превращаясь в своего героя озорного мальчишку по имени Леня. Современный один из главных эпитетов Енгибарова. Современный во всем, начиная с творческих приемов и заканчивая внешним видом: модная полосатая футболка, шелковый платок на шее, узкие стильные брюки, никаких париков, почти никакого грима, таков был образ Лени, стоящего на одной руке под мелодию Армстронга и играющего в хоккей собственной шляпой. И еще одна черта: минимум реквизита. С одним чемоданом простейших предметов он отрабатывал феерическую двухчасовую программу.
Его восхищала женская красота. Многочисленные поклонницы ездили к нему со всех концов Советского Союза. Почти ежедневно он вручал коллеге список: кого надо встретить или проводить. Женщины были для него источником вдохновения, он сочинял для них и исполнял перед ними свои номера, новеллы. Это, скорее, было средством самовыражения, ему нужно было хоть на мгновение, но любить прекрасное и делать красивые жесты. Мог, например, купить дорогую шубу в ереванском универмаге, подарить понравившейся продавщице и, сказав только одно: "Леонид Енгибаров!", эффектно раскланяться и уйти. Дарил охапки роз официанткам, продавщицам и вообще красивым женщинам. Его поступками двигало не донжуанство, но романтика: "У каждой женщины должен быть свой принц!" Однако умевший любить и покорять женщин как никто другой, Леонид Енгибаров всю жизнь был невероятно одинок и погружен в свой собственный, им созданный мир. Единственной женщиной, с которой он никогда не расставался, была его мать Антонина Андриановна.<ref>Деньги Некоторые штрихи к его портрету: деньги Леонид Енгибаров не копил, а тратил. Советские артисты зарабатывали неплохо, в расцвете своей славы Енгибаров получал уже персональную ставку 25 рублей за выступление. В среднем за месяц артист отрабатывал от 40 до 60 спектаклей. Выходила очень приличная сумма. Но у Енгибарова через пару дней после получки в кармане ни копейки. Все заработанные деньги уходили на цветы женщинам, на подарки.
Однажды он попросил у своего коллеги [[Соса Петросяна]] его новую замшевую куртку: "Понимаешь, у меня сегодня свидание!" И дал ему взамен свою кожаную, забыв в ее кармане целую кипу денег (накануне был день зарплаты). На следующий день немного грустный Леонид попросил Соса достать немного денег в долг все, мол, потратил и не помнит, как. Сос, конечно, деньги вернул, чем немало удивил и обрадовал Енгибарова.
Его индивидуальность у многих вызывала непонимание, раздражение и зависть. Усугублялось все трудным характером артиста, его высоким честолюбием. Будучи в Праге, удрал с Карелом Готтом на границу и оттуда позвонил сотруднику КГБ: "Я в Австрии!" После чего, естественно, стал невыездным. Наивно и подчас по-детски он требовал признания своей гениальностисвоего таланта, ужасно расстраивался, если его не узнавали. Впрочем, слава любила его и оставлась с ним до конца жизни. В ереванском аэропорту, где его встречали коллеги, мог достать булавы и начать жонглировать на глазах у сотен случайных людей ему всегда нравилось быть на виду, в центре внимания.
Далеко не всем приходилась по душе и его требовательность к себе, и жесткие требования к партнерам: Енгибаров, к примеру, не разрешал артистам оставлять после себя что-либо на арене, требовал "чистого" манежа перед своим выходом. И сам тоже ничего не оставлял.</ref>