Родился 27 ноября 1951 года в станице Тверской Апшеронского района Краснодарского края.

Окончил тверскую среднюю школу № 77.

Поступил и с отличием окончил столичный политехникум. В период учёбы в техникуме приобщился к регулярным тренировкам в борцовском зале. Успехи на ковре пришли быстро. Победы на городских и республиканских соревнованиях, участие во всесоюзных чемпионатах и турнирах в составе сборной команды Таджикской ССР способствовали известности молодого борца в республике.

Службу в армии проходил в спортивной роте Забайкальского военного округа, где являлся признанным лидером, чемпионом округа.

Отслужив положенный срок, работал инженером в научно-исследовательском институте «Таджикгидротрансстрой».

В 1981 г. — для углубления знаний в тренировочных процессах, окончил заочное обучение в Таджикском государственном институте физической культуры. Возглавлял сборную Таджикистана по греко-римской борьбе на чемпионатах и Кубках Советского Союза, международных и всероссийских турнирах.

В период 1981–1982 гг. — при сооружении знаменитого моста Дружбы в городе Термезе через реку Амударью — был одним из активных участников грандиозной стройки, за что награждён почётной грамотой Верховного Совета СССР.

В 1982 г. — был направлен в город Сочи на сооружение нового моста в районе Международного молодёжного лагеря «Спутник». По окончании строительства К. М. Варваштьяну предложили продолжить работать в Сочинском мостоотряде № 10.

Совмещая высококвалифицированную работу с тренировками, успешно участвовал в соревнованиях, а, закончив бороться, в свободное от основной работы время начал передавать свой опыт и знания молодым, начинающим спортивный путь борцам. Глубокое знание техники и тактики ведения борьбы, искренняя любовь к тренерской деятельности принесли свои плоды. Его ученики — мастера спорта СССР и России, члены сборной команды СССР, мастера спорта международного класса, участники чемпионатов Азии и Азиатских игр, XXIX Олимпиады 2008 года в Пекине, чемпионатов мира и Европы. Среди них: Турсун Турсунов — чемпион Европы, Варужан Багирян — участник двух чемпионатов мира.

Был удостоен почётного звания «Заслуженный тренер Таджикской ССР», неоднократно награждался благодарностями, почётными грамотами, памятными кубками и сувенирами.

Известного специалиста по греко-римской борьбе руководство Сочинской ДЮСШ № 10 убедило стать профессиональным тренером школы. Результаты превзошли все ожидания. Сочинские борцы-юниоры вскоре заявили свои претензии на лидирующее положение в крае, Южном федеральном округе и России. Воспитанники Варваштьяна приглашались в сборные команды края и страны. Высокое спортивное звание «Мастер спорта России» присвоено пяти его лучшим ученикам. Один из них Артур Диленян — член сборной команды России.

Достижения

• Мастер спорта СССР
• Трёхкратный чемпион Таджикской ССР (1969–1971)
• Чемпион Забайкальского военного округа (1973)
• Пятикратный чемпион Таджикского республиканского ДСО «Локомотив» (1975–1980)
• Бронзовый призёр Всесоюзного ДСО «Локомотив» (1975)
• Заслуженный тренер Таджикской ССР
• Заслуженный тренер России

Награды

• Грамота Верховного Совета СССР
• Неоднократно награждался благодарностями, почётными грамотами, памятными кубками и сувенирами

Разное

• Сын — Варваштьян Рубен, мастер спорта России, выпускник Кубанского государственного университета физической культуры, спорта и туризма, тренер ДЮСШ № 10, старший тренер сборной команды города Сочи.

Изображения

• 

  К. М. Варваштьян с внуком

• 
• 

  «Кубок Черного моря» по греко-римской борьбе на призы заслуженного тренера России Киркора Варваштьяна

• Банников. А.М. Спортивная слава армян Кубани. — Краснодар: Традиция, 2023, стр. 133
• ДПО СП по виду спорта "СПОРТИВНАЯ БОРЬБА". Преподаватели. Варваштьян Киркор Мкртычевич
• Спортивный турнир «Кубок Черного моря» по греко-римской борьбе на призы заслуженного тренера России Киркора Варваштьяна