В период своей церковной деятельности Г. Сатунян занимал различные ответственные должности в городах Гори, Нухи, Нор-Нахичеван, Александрополь, Гандзак, Шуши. Приказом Синода от 10 января 1879 г. он был назначен членом монастырского правления св. Эчмиадзина, 28 января 1882 г. - викарием Гори, 10 января 1883 г. - викарием Нухи, с 18 сентября 1884 г. одновременно выполнял должность помощника епархиального инспектора. 9 июня 1887 г. был переведен в Нор-Нахичеван в качестве председателя духовного правления и с 22 сентября того же года - также помощником епархиального инспектора. По своей просьбе 2 сентября 1889 г. освобожден от этих должностей.
28 февраля 1890 г. Г. Сатунян был назначен викарием Александрополя - до 22 сентября 1892 г. , в 1894 г. - викарием Гандзака. Кондаком Католикоса Всех Армян [[Мкртич I ХримянВанеци|Мкртича I Хримяна]] от 27 января 1895 г. Сатунян назначен правителем Карабахской епархии - до 17 сентября 1897 г. , а в 1901 г. - игуменом [[Санаинский монастырь|монастыря Санаина]]. 10 августа 1904 г. утвержден в должности главы армянской епархии Грузии и Имеретии, оставаясь в ней до конца жизни.
Наряду со службой на высоких церковных должностях Г. Сатунян серьезно занимался организацией строительства и благоустройства нескольких объектов. ''В частности, его усилиями были построены резиденция викария Александрополя, великолепный путь от железнодорожного вокзала Карса до монастыря. Он основательно восстановил [[Санаинский монастырь|Санаинский монастырь]], обновил изнутри резиденцию главы армянской епархии Грузии и Имеретии в Тифлисе. ''