Родился в Армении в семье музыкантов. В возрасте шести лет начал заниматься с [[Луизой Маркарян]] и позже с Георгием Сараджевым. Продолжил обучение в Московской консерватории у Льва Власенко, Михаила Плетнева, неоднократно получал уроки у Льва Наумова. Закончил консерваторию и ассистентуру-стажировку в классе профессора В. В. Горностаевой.
Сергей Бабаян стал лауреатом первых премий нескольких международных конкурсов, включая конкурс Роберта Казадезюса в Кливленде (1989), Хамамацу в Японии (1991) и Шотландский международный фортепианный конкурс (1992). Сольный дебют пианиста в Нью-Йорке прошел с таким успехом, что он получил предложение провести серию концертов по городам США.