Родился в 1904 в Гандже в семье машиниста Закавказской железной дороги. До 8-летнего возраста жил в Гандже, затем переехал с родителями в г. Александрополь (ныне – Гюмри), где учился в Коммерческом училище.
В 1913 - отец был переведен в г. Тифлис, и А.И. Алиханов продолжал обучение в 1-м Тифлисском коммерческом училище.
Началась первая мировая война. Семья Алихановых возвратилась в Армению. В 1919 - семья Алихановых бежала от преследования турок. С помощью друзей отца Алихановы получили пропуск в Тифлис и навсегда поселилась в Грузии.
В 1921 - Абрам Алиханов окончил реальное училище и поступил на химической факультет Тифлисского политехнического института.