Родился в Египте в армянской семье и был воспитан в Советской Армении, где получил музыкальное образование и увлекся оперой, работая в [[Национальный академический театр оперы и балета им. А. А. Спендиарова|Ереванском оперном театре]].
В 1975 году Свазлян эмигрировал в США и уже тогда играл на скрипке в знаменитом оркестре Метрополитен Опера.